1. Qué es la esperanza de vida y por qué es central en las rentas vitalicias
La esperanza de vida es el número promedio de años que se espera que viva una persona, dadas las condiciones de mortalidad de una población en un momento determinado. En el contexto de las pensiones no es una simple curiosidad demográfica: es la variable que define cuánto tiempo, en promedio, la aseguradora tendrá que pagar la pensión mensual. Cuando una persona contrata una renta vitalicia, transfiere a la aseguradora el llamado riesgo de longevidad: el riesgo de agotar sus recursos por vivir muchos años. La aseguradora acepta ese riesgo a cambio de la prima única (el saldo de la cuenta individual) y se compromete a pagar de por vida.
Conviene distinguir dos conceptos que suelen confundirse. La esperanza de vida al nacer (edad x = 0) es la más citada en los medios: en México ronda los ochenta años para el conjunto de la población. Pero para pensiones importa la esperanza de vida a una edad x, es decir, cuántos años adicionales se espera que viva alguien que ya alcanzó los 60 o 65 años. Esta cifra es sustancialmente mayor que "80 menos la edad", porque quien llega a los 65 ya sorteó la mortalidad de la infancia, la juventud y la mediana edad. Una persona de 65 años puede esperar vivir, de forma ilustrativa, todavía unos 18 a 22 años más. Ese horizonte es el que la aseguradora debe financiar.
2. La tabla de mortalidad como base del cálculo
Toda la matemática de las pensiones parte de la tabla de mortalidad, un cuadro que describe cómo se va extinguiendo un grupo hipotético de personas conforme envejece. Sus columnas fundamentales son:
Número de personas vivas a la edad exacta x, partiendo de una cohorte inicial (la raíz, por ejemplo l₀ = 100 000).
Número de personas que mueren entre la edad x y x+1. Se cumple dₓ = lₓ − l_{x+1}.
Probabilidad de que alguien de edad x muera antes de cumplir x+1. Se calcula como qₓ = dₓ / lₓ.
Probabilidad de que alguien de edad x sobreviva un año más: pₓ = l_{x+1} / lₓ = 1 − qₓ.
La tabla se extiende hasta la edad límite ω (omega), la edad a la cual, por construcción, ya no sobrevive nadie: l_ω = 0. A partir de estas columnas se derivan las probabilidades de supervivencia a varios años, escritas ₖpₓ ("probabilidad de que una persona de edad x viva al menos k años más"):
qₓ = dₓ / lₓ = 1 − pₓ // probabilidad de morir en el año
dₓ = lₓ − l_{x+1} // fallecimientos en el intervalo
| Edad x | lₓ | dₓ | qₓ | pₓ |
|---|---|---|---|---|
| 60 | 82 000 | 1 148 | 0.0140 | 0.9860 |
| 61 | 80 852 | 1 213 | 0.0150 | 0.9850 |
| 62 | 79 639 | 1 274 | 0.0160 | 0.9840 |
| 63 | 78 365 | 1 348 | 0.0172 | 0.9828 |
| 64 | 77 017 | 1 417 | 0.0184 | 0.9816 |
| 65 | 75 600 | 1 512 | 0.0200 | 0.9800 |
Cifras ilustrativas. Las tablas reales usadas por las aseguradoras en México son las EMSSA (Experiencia Mexicana de Seguridad Social Anualidades) autorizadas por la CNSF, con desagregación por sexo y proyección dinámica.
3. Esperanza de vida abreviada (curtate) eₓ
La esperanza de vida abreviada o curtate, denotada eₓ, cuenta únicamente los años completos que se espera vivir a partir de la edad x. Se obtiene sumando las probabilidades de sobrevivir a cada año futuro:
La intuición es elegante: cada término ₖpₓ representa la probabilidad de "ganar" un año más de vida a los k años. Al sumar todas esas probabilidades se obtiene el número esperado de años enteros vividos. Como solo cuenta años completos, eₓ subestima ligeramente la duración real de la vida, ya que ignora la fracción de año que se vive durante el año del fallecimiento. Esa fracción se corrige en la versión completa, que veremos enseguida.
4. Esperanza de vida completa e̊ₓ y la regla del medio año
La esperanza de vida completa, denotada e̊ₓ (con el pequeño círculo o "ring" sobre la e), mide el tiempo esperado de vida de forma continua, contabilizando también las fracciones de año. Se define como la integral de las probabilidades de supervivencia a lo largo de todo el tiempo futuro:
e̊ₓ ≈ eₓ + 1/2 // aproximación "regla del medio año"
La regla del medio año resulta de suponer que, en promedio, quienes fallecen durante un año lo hacen hacia la mitad de él. Como la versión curtate solo cuenta años enteros, hay que sumarle aproximadamente medio año para reflejar el tiempo vivido en el año de la muerte. La aproximación e̊ₓ ≈ eₓ + ½ es muy buena cuando la mortalidad dentro de cada año es aproximadamente uniforme, que es el supuesto habitual en las tablas de seguridad social. Para el cálculo de una renta vitalicia, esta distinción entre versión continua y discreta importa porque los pagos se hacen en momentos concretos (mensual o anualmente), y el modelo debe ser coherente con ese calendario de pagos.
5. La fuerza de mortalidad μₓ
Mientras que qₓ mide la mortalidad de todo un año, la fuerza de mortalidad μₓ (mu) mide la intensidad instantánea del fallecimiento en el instante exacto de la edad x. Es el análogo continuo de la tasa de muerte y se define como la velocidad relativa a la que decrece el número de sobrevivientes:
El signo negativo aparece porque lₓ es decreciente: cuanto más rápido cae la función de sobrevivientes, mayor es la fuerza de mortalidad. La conexión entre la fuerza de mortalidad y las probabilidades de supervivencia es una de las relaciones más útiles de la actuaría, ya que permite reconstruir ₜpₓ a partir de μ:
En palabras: la probabilidad de sobrevivir t años es el exponencial del negativo de la fuerza de mortalidad acumulada durante ese periodo. Esta formulación es la base de modelos paramétricos clásicos (como Gompertz o Makeham), donde μₓ crece exponencialmente con la edad, capturando el hecho biológico de que el riesgo de morir se acelera con los años. A partir de μₓ se derivan por integración todas las demás magnitudes: ₜpₓ, eₓ y e̊ₓ.
6. Relación con el valor de la anualidad y la pensión mensual
Aquí es donde todo converge. El valor actuarial de una anualidad vitalicia, denotado äₓ (anualidad anticipada de por vida para una persona de edad x), es el valor presente esperado de pagar una unidad monetaria cada periodo mientras la persona viva. Combina las probabilidades de supervivencia con el descuento financiero:
La relación es directa e ineludible: a mayor esperanza de vida, mayores son las probabilidades ₖpₓ, y por tanto mayor es äₓ. Y como la pensión mensual se obtiene, en esencia, dividiendo la prima única (el saldo acumulado) entre este valor de anualidad, un äₓ más grande significa una pensión mensual más baja para la misma prima. Dicho de otro modo: si la población vive más, el mismo ahorro debe repartirse entre más años de pago, y cada mensualidad se reduce.
- Más esperanza de vida ⟶ mayor äₓ ⟶ menor pensión mensual con la misma prima.
- Tasa técnica (i) más alta ⟶ menor äₓ ⟶ mayor pensión, porque el dinero futuro se descuenta más.
- El sexo y la edad al pensionarse modifican ₖpₓ y, por tanto, el monto resultante.
El desarrollo completo de äₓ, la tasa técnica y las reservas se explica en nuestra guía de matemática actuarial, donde se conecta la mortalidad con el descuento financiero.
| Edad x | Hombres (años adicionales) | Mujeres (años adicionales) |
|---|---|---|
| 60 | ≈ 21 | ≈ 24 |
| 65 | ≈ 17 | ≈ 20 |
| 70 | ≈ 14 | ≈ 16 |
Cifras ilustrativas de orden de magnitud, no oficiales. Los valores aplicables provienen de las tablas EMSSA de la CNSF y de las estadísticas de mortalidad del INEGI. Las mujeres presentan sistemáticamente una esperanza de vida mayor a cada edad.
7. Mejora de la longevidad en el tiempo (mortalidad dinámica)
Un factor que complica el cálculo es que la mortalidad no es estática: gracias a los avances médicos, la nutrición y las condiciones de vida, cada generación tiende a vivir más que la anterior. Este fenómeno se conoce como mejora de la longevidad o mortality improvement. Una tabla construida con datos de hace veinte años subestimaría la supervivencia actual, y por tanto subestimaría äₓ y el costo real de las pensiones.
Por eso las tablas modernas, incluidas las EMSSA mexicanas, son dinámicas o generacionales: incorporan factores de proyección que reducen qₓ año con año para reflejar la tendencia esperada de mejora. El impacto es doble. Para el asegurado, una mayor longevidad proyectada implica una pensión mensual algo menor a igualdad de prima. Para la aseguradora, subestimar la mejora de la longevidad es un riesgo financiero mayor: si los asegurados viven más de lo previsto, las reservas pueden resultar insuficientes. Este riesgo agregado es precisamente el riesgo de longevidad sistemático que la regulación de la CNSF exige medir y respaldar con reservas y requerimientos de capital.
8. Preguntas frecuentes
¿Qué significa eₓ?
eₓ es la esperanza de vida abreviada (curtate): el número esperado de años completos que vivirá adicionalmente una persona de edad x, según una tabla de mortalidad. Se calcula sumando las probabilidades de supervivencia ₖpₓ para todos los años futuros. La versión continua e̊ₓ, que también cuenta las fracciones de año, es aproximadamente eₓ + ½.
¿Cómo afecta mi esperanza de vida a mi pensión?
Directamente. A mayor esperanza de vida, mayores son las probabilidades ₖpₓ de seguir con vida en años futuros y, por tanto, mayor es el valor de la anualidad äₓ, porque la aseguradora espera pagarte durante más tiempo. Como la pensión mensual surge de dividir tu prima (el saldo acumulado) entre äₓ, un äₓ más alto se traduce en una mensualidad más baja para la misma prima.
¿Las mujeres reciben pensión distinta por vivir más?
Las mujeres tienen, a cada edad, una esperanza de vida mayor que los hombres, lo que actuarialmente encarecería su anualidad. En el seguro social mexicano la pensión se determina conforme a reglas del sistema, y las aseguradoras aplican las tablas EMSSA autorizadas por la CNSF, que sí distinguen por sexo en la valuación técnica. El tratamiento concreto (por ejemplo, el uso de tablas unisex o diferenciadas según el ramo) debe verificarse en la normatividad vigente de la CNSF y la CONSAR.
¿Qué es la fuerza de mortalidad?
La fuerza de mortalidad μₓ es la tasa instantánea de fallecimiento en la edad exacta x, definida como μₓ = −(1/lₓ)·(dlₓ/dx). Es el análogo continuo de qₓ y se relaciona con la supervivencia mediante ₜpₓ = exp(−∫₀ᵗ μ_{x+s} ds). Modelos como Gompertz suponen que μₓ crece exponencialmente con la edad, capturando la aceleración del riesgo de morir.
Para seguir profundizando, consulta la matemática actuarial detrás del cálculo, cómo funcionan las aseguradoras de pensiones, prueba nuestras calculadoras, revisa el glosario o vuelve a la portada.